矩形小通道内流动换热数值模拟

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摘　　要

本文利用数值模拟的方法研究了宽高比为20，当量直径为3.81mm的微小矩形通道内流动与换热特性，工质为液体水。结果表明，临界雷诺数约为1800，与常规尺度基本一致。

湍流区的摩擦阻力系数和平均努赛尔数的数值计算结果与常规圆管的结果吻合良好。进一步对影响流动换热的三个重要因素——入口效应、宽高比、表面粗糙度进行了分析，发现：(1) 在层流区域，入口段长度仍可以用常规理论进行计算。(2) 随着宽高比增大，临界雷诺数、层流区域的摩擦阻力系数和努赛尔数均增大，但是宽高比对湍流区流动没有影响。 (3) 在湍流区域，相对粗糙度增加，会使换热能力增强。考虑到这些在常规管道中经常被忽略的因素，传统的N-S方程对本文研究的小通道同样适用。

关键词：数值模拟；矩形通道；流动换热

ABSTRACT

The flow and heattransfer characteristics of water flowing trough rectangular micro-channel withhydraulic diameter of 3.81mmat channel aspect ratio of 20, was numerically simulated. The flow resultsshowed that the critical Reynolds number is about 1800, which was basically inconsistent with large-scale channels.

The friction factorand average Nusselt number in turbulent regime were found to be in goodagreement with classical correlations. By considering the following 3 factors:entrance effect, aspect ratio, roughness, it was concluded that: (i) in laminarregime, the conventional length calculation is fit for micro-channels. (ii) Asthe aspect ratio increases, the critical Reynolds number, the laminar frictionfactor and Nusselt number increase, but the flow in turbulent regime staysunchanged. (iii) The growth of roughness will intensify the heat transfer inturbulent regime. Taking into account such common phenomena that oftennegligible in conventional channels, the N-S equations are valid for the micro-channelsin concern..

Key words: numericalsimulation; rectangular channel; flow and heat transfer

一、引言

国内外关于微小通道的流动和换热已经进行了大量的实验与数值研究，并与常规尺度的管道内的流动换热特性进行了对比。但是不同文献的结果相差很大：测得的泊肃叶数Po和对流换热系数h或者大于[1]或者小于[2]常规通道的预测值；从层流转化到湍流时的临界雷诺数相差也较大。N-S方程对于小通道的适用性受到了质疑。

近年来，大多学者都认为光滑微通道管的流动特性与传统常规尺度的流动规律相一致。早期出现试验与经典理论相悖的结果是因为试验的边界与理论条件不符或测量存在较大误差等因素造成，并非由于所谓的微尺度效应。相关文献提出，微小通道的流动和换热结果与经典理论相背离，这可能归因于：表面粗糙度[3]、宽高比[4]、入口效应[5]等。

Liu和Garimella[6]通过试验和数值的方法研究了液体在矩形微通道内的层流流动特性。研究的微通道当量直径为244 ~ 974                              ，雷诺数为230 ~ 6500。文献比较了试验压降值与数值计算值，结果表明，在其所研究的范围内，传统的理论和数值计算方法完全可以用来预测微通道内的流动，层流向湍流的临界点大概在2000左右。

Y. Mishan等人[5]研究了流动和热发展段对微换热器特性的影响。他们首次采用红外技术测量通道内的主流温度，并利用当地热流密度及当地温差计算当地换热系数。他们的压降和换热的实验结果表明：考虑入口效应后，常规理论可适用于水在微通道内的流动。

本文利用数值的方法对小通道内的流动换热进行模拟，得到不同Re数下的流动换热结果。并进一步与常规管道进行比较，重点讨论导致结果分歧的原因——入口效应、宽高比、表面粗糙度等的影响，以检验在本课题研究的范围内传统N-S方程的适用性。

二、网格模型建立

本文利用商业计算软件包Fluent软件进行数值模拟。本文采用的微小矩形通道，几何尺寸为：高度a = 2mm，宽度b = 40mm，轴向长度l = 1000mm。

所用工质为水，假定流动为不可压，当温度在35~70℃变化时，比热视为定值。入口温度为Tf = 308K，入口流速 ，出口压力为1atm。壁面光滑无滑移，定热流密度加热， 。在以下进行的迭代计算中，使用SIMPLE算法求解微分控制方程，当残差小于10-5时，认为迭代收敛。

因为所研究通道为简单的矩形通道，本文采用结构化网格。为了得到正确的计算结果，选用了大量的不同网格模型进行模拟，最终得到较满意的划分方法。此处列举其中三种划分方法15×40×100、10×40×100、8×60×200，表2.1显示了这三种网格模型得到的压降P和换热系数h的值以及ΔP的百分比、Δh的百分比（意思不清楚）。网格无关性检验结果证明，10×40×100已经可以保证计算结果的准确性。当网格进一步细化时（如8×60×200），两者关于ΔP、Δh的计算差值均在1%以内。

需要指出的是，高度方向的节点数并不是越多越好。在Fluent计算通道内湍流流动时，采用壁面函数法。如果网格划分过密，会使第一个节点分布在粘性底层，而壁面函数法只是把近壁区域的湍流发展层与湍流中心区连接起来，不能解决粘性底层的流动[9]。

表2.1
# {2 q5 y0 b4 o2 D网格无关性检验　按1、2……顺序

    

网格划分方法

      

摩擦压降P(Pa)

      

换热系数h(W/(m2·K))

      

ΔP的百分比

      

Δh的百分比

  
    

15×40×100

      

14573.6

      

12204.05

      

—

      

—

  
/ s% d1 P; ]: b; P& A# ?  A9 F     

10×40×100

      

15345.9

      

11799.41

      

5.30%

      

3.32%

  
  X: C9 Y* b- E* A" _/ a# u+ K     

8×60×200

      

15407.7

      

11861.69

      

0.40%

      

0.53%

  
                  

l=1000mm

   
       
5 q8 }: d" q! S6 S* @                     

b=40mm

   
5 _5 @" Y* x3 X. V* K       
                     

a=2mm

   
       
, A! k$ x7 B! V' H: v8 m    

图2.1
微小通道网格划分示意图

三、流动特性及影响因素

1. 平均泊肃叶数

（1）层流区平均泊肃叶数

图3.1为壁面四面加热，热流密度q = 4kW情况下的平均泊肃叶数Po与Re数的关系曲线。按照常规理论，压降与充分发展区相联系，Po=fRe为常数，Po应该为一水平线。依据Shah and London[7]的理论，在充分发展的层流区域，常规矩形通道的Po数与Re数的关系可以按下式进行计算：

+ I2 S- `4 {" M/ i+ q(3.1)

式中， 为宽高比，在本节， = 20，计算得出Po = 89.94。

由图3.1可以看出，在雷诺数为0~1500范围内，数值计算与Shah andLondon[7]的理论关系式结果比较吻合，最大误差为2%，而在Re＞1500之后，两条曲线背离开始增大，说明这时流动已经处于向湍流过渡的不稳定状态。       从图3.1可以看出，层流区域的泊肃叶数并不为水平线，因为这里计算的平均泊肃叶数，并没有排除入口效应的影响，这一点将在下文继续讨论。

  图3.1
. {2 D6 Q" ?- L! G  N$ s  t层流区域 Po数随Re数的变化曲线 图及相应讨论可略

（2）湍流区平均泊肃叶数

图3.2为在湍流区域（10000＜Re＜60000），摩擦阻力系数f随Re的变化曲线。通过与计算圆管内湍流流动的布拉休斯公式所得的结果进行对比，发现二者相差不大。既然同一雷诺数下的摩擦阻力系数与经典值相差很小，由此泊肃叶数(Po = fRe)的区别也不是很大，这很好地说明了传统的N-S方程对于微型通道同样适用。

  

图3.2
' y- x2 X  ^1 C, O湍流区域f随Re数的变化曲线

2. 入口效应的影响

（1）层流区入口段

  图3.3
入口段Po数的变化曲线

分别取Re = 104、208、782，计算三种情况下Po数沿入口段（0＜x+＜0.3）（x+是什么？）的变化，其分布曲线见图3.3。可见，在一定入口长度内，Po数的值普遍高于充分发展段的理论计算值，但是呈逐渐下降的趋势。Po数沿轴线方向逐渐接近一个定值，即由式（3.1）计算得到的值89.94。这与Shahand London[
" k4 {' r5 S! k) _% z, a7 |& S4 B]对普通尺寸管道层流发展段的预测相一致。从图3.3可以看出，在x+ =0.055时，Po数已处于较小的波动范围，趋近于89.94。

不难看出，层流入口段的长度相对还是比较长的，因此这就可能导致了前文计算的平均泊肃叶数与充分发展Po数的偏离。可以得到充分发展区的Po数随Re数变化曲线，见图3.4。数值计算Po值在Re＜1800时始终保持为定值88.42，与经验公式误差为1.69%，这个误差范围是可以接受的。

图3.4
数值计算层流充分发展区Po数与经验公式比较

（2）湍流区入口段

  

图3.5
" k1 |- u- y- k, ?) }& m湍流入口段fRe-0.25随x+的变化曲线

对于湍流流动，进口段随雷诺数的增大而向着入口移动。由于湍流边界层的厚度增长比层流边界层要快，因此湍流入口段较短（一般小于管径的10至15倍），通常为次要关心的问题。这一点可以说明，尽管此时仍存在入口效应，但是湍流情况下的计算结果误差较小。由图3.5可以看出，在x+ = 0.001附近，fRe-0.25变化已不大，说明流动已接近充分发展。

3. 宽高比的影响

) Z0 M7 L  ^4 {' C$ {1 e* n

图3.6
* p( v7 O. |% h数值计算层流泊肃叶数Po与Re数关系曲线

图3.7
7 F: T1 ?) g' P5 s3 k8 Q  k* v数值计算湍流摩擦系数f与Re数关系曲线

宽高比对层流区和湍流区的流动影响分别见图3.6和图3.7。从图3.6可以看出，不同宽高比对应的临界Re数不同。图中虚线代表各种截面形状计算得到的层流区Po数，则与数值计算得到的曲线交点位置附近就可以认为流动已经开始过渡，对应的横坐标就是转捩Re的值。比较发现，随着宽高比增大，转捩Re数也就越大。这个规律与宏观尺度何意？矩形通道的计算结果相同。

从图3.7可以看出，同一Re数下，不同的宽高比对摩擦系数影响不大，各点几近重合，说明摩擦系数不随宽高比的变化而变化。与圆管内的湍流关系式——布拉休斯公式进行对比，发现两者吻合很好。因此可以用圆管计算公式来计算不同宽高比的矩形湍流流动。

4. 粗糙度的影响

图3.8
# m# ]# x0 Z: F& ~! Y' w不同粗糙度下的f与Re关系曲线

在常规管道内，如果壁面相对粗糙度小于5%，则壁面粗糙度对层流流动的影响可以忽略[10]。现研究粗糙度对通道内流动的影响。本节采用第三章的网格模型，通过修改壁面粗糙度获得不同粗糙度下(ε分别等于0.3%、0.5%、1%、3%、5%)的摩擦阻力系数，得到图3.8。

在湍流区域，可以看出，在同一雷诺数时，随着相对粗糙度的增大，摩擦阻力系数也随着增大，但增大的幅度却减小了。粗糙度分别为3%和5%，摩擦阻力系数f相差却不是很大，接近重合。这与尼古拉兹通过砂粒实验得到的曲线[8]相一致。

四、换热特性及影响因素

1. 平均努赛尔数

对于定型层流流动，Nu数只是热边界条件的函数。圆管中，对于常热流Nu =4.364。本文对矩形微小通道进行数值模拟，得到的Nu~Re关系曲线见图4.1。

从图中可以看出，在层流区域 Nu数不再是一个常数，而是随Re增大而增大。Shah and London[7]提出在层流完全发展段的Nu数计算公式：

Nu = 8.24 -16.8/ +25.4/ -20.4/
+ 8.7/
(4.1)

为宽高比，本节中， =20，计算得Nu = 7.46。

       同理，本节讨论的是平均努赛尔数，排除入口效应得到的充分发展段Nu数将在下文进行讨论。

图4.1
2 Q& n/ s6 H5 ?层流区域平均努赛尔数随 Re 数变化曲线 此图及相应讨论可删

湍流区域的换热特性见图4.2。由图4.2可以看出，数值计算结果与D-B公式结果趋势相同且相差较小。说明在微小通道内，湍流区域的换热特性可以用圆管内的关系式来表示，说明N-S方程解决微通道内换热的准确性。

图4.2 湍流区域平均努赛尔数随Re数变化曲线

2.入口效应的影响

根据经典理论推导出，当流动处于热发展阶段时，努赛尔数是无量纲长度x*的函数，即：

2 ^0 [  \8 d0 ~( n/ h* E3 @
' v. {$ C/ B" U) h% {Nux= f(x*)
1 |( l7 N* U+ j8 \(4.1)

其中：

x* = x /(DeRePr)
(4.2)

当热流密度恒定时，圆形截面管热入口段的局部努赛尔数见表4.1。

表4.1
% J. Z) {7 r' m) J% q* j& {1 m( n恒定热流密度，热入口段的努赛尔数

    

x*

      

Nux

  
    

0

      

∞

  
    

0.002

      

12.00

  
    

0.004

      

9.93

  
  T3 R  j3 ~+ o     

0.010

      

7.49

  
    

0.020

      

6.14

  
    

0.040

      

5.19

  
    

0.100

      

4.51

  
5 d1 U( s, z- u0 v4 v     

∞

      

4.36

  

图4.3为水力直径为De = 3.81mm，恒定轴向热流密度(P = 4kW)，四面均加热，不同Re下的局部努赛尔变化曲线。Nuav数只与x*有关，并不随Re数变化。在x*为0.02左右时，Nu数接近稳定值。通过与表4.1比较，发现两者吻合极好，说明常规尺寸圆管内的热入口段规律适用于微小矩形通道，再一次证明了经典理论的普遍适用性。

    图4.3 数值计算入口段努赛尔数的变化曲线

图4.4 流道流动方向上Nux/Nu∞分布

本节分别对Re = 15644、31288、46932的湍流入口段进行了研究，得到Nux/Nu∞与x/De的关系曲线，见图4.4。可以看出，在入口区的Nux数大于充分发展段的Nu∞数，在x/De为40左右时，Nux基本不再发生变化，且Nux与Nu∞的比值趋近于1。

这样，得到充分发展段的Nu数随Re数变化的分布曲线图4.5。从图中可以看出，当Re数小于1000时，数值计算得到的充分发展Nu数保持为定值7.2，与经验公式计算的7.46相差不大，误差为3.48%；当Re数大于1000时，Nu开始逐渐增大。

图4.5 数值计算层流Nu ~ Re变化曲线

3. 宽高比的影响

图4.6
" i% C1 l% Y- P9 B层流区不同宽高比对应的Nu数随Re数变化曲线

图4.7
湍流区不同宽高比对应的Nu数随Re数变化曲线

从图4.6可以看出，在同一雷诺数时，随着宽高比的增大，层流区的Nu数也在增大。并且，在各种截面形状中，Nu数的变化趋势都是随Re数增大而增大。

不同宽高比紊流区换热结果见图4.7。可以看出，不同宽高比矩形小通道内湍流区域的Nu数是不同的，但都与D-B公式的形式相近。并且，当b/a = 1时，数值计算的结果与D-B公式是最接近的。这说明，对非圆形管道可以采用当量直径进行相关计算。同层流区一样，宽高比越大，Nu数也越大。在双对数坐标下，层流和紊流区的Nu~Re都基本成线性关系，只是斜率有所不同。

4. 粗糙度的影响

图4.8
不同粗糙度下的Nu与Re关系曲线

不同粗糙度下的Nu数随Re数变化曲线见图4.8。这里，也只讨论湍流区域的换热情况。从图中可以看出，同流动情况基本一致，随着粗糙度的增大，换热能力不断增强。并且在相对粗糙度 分别为3%和5%时，得到的换热结果很接近。

五、结论

（1）Fluent可以用于计算微小通道内的流动换热情况，但是网格质量对计算结果影响很大，必须经过网格无关性检验。本条结论可以删。

（2）对于本文讨论的尺寸为40×2×1000mm通道，临界雷诺数为1800左右，较常规管的转变点基本一致，这与入口效应、宽高比等有关。考虑入口效应后，流动换热的数值计算值与经验公式结果吻合良好。传统的N-S方程对于该尺度的计算完全适用。

（3）入口效应对层流影响较大，微通道的流动入口段长度和热入口段长度均可以用常规管的公式计算。随着宽高比的增大，转捩雷诺数、摩擦阻力系数和换热系数都相应增大。在一定范围内，相对粗糙度的增加可以增强湍流区换热，同时摩擦阻力系数也会增大。

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