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% function EXT Kalman Filtering
/ Y$ P6 C/ x* S$ }4 ~) l% vx[n]=vx[n-1]+ux[n]* B6 a5 W9 {, j8 R7 C
% vy[n]=vy[n-1]+uy[n]
- v$ M' k3 H, h) P3 L2 V9 |% rx[n]=rx[n-1]+vx[n-1]*t
2 y. y+ d# a# ^4 [, w6 ^% ry[n]=ry[n-1]+vy[n-1]*t
8 d, R, J+ o( b, D- C" k$ {* t% s[n]=[rx[n];ry[n];vx[n];vy[n]]
, {# \ ?4 _. S g! u% A=[1 0 t 0;0 1 0 t;0 0 1 0;0 0 0 1]
7 d, Y, V% F/ ^/ u8 u' {& ]4 [/ `7 Y% s[n-1]=[rx[n-1];ry[n-1];vx[n-1];vy[n-1]]
# T7 |; e$ |' G9 r' E% u[n]=[0;0;ux[n];uy[n]]5 `9 e0 ~; ^4 N; F0 a2 h$ w
% s[n]=As*[n-1]+u[n]7 a5 Y0 m' c4 V9 N5 u& [* z) f
% x[n]=h(s[n])+w[n]& b) A% g$ }" `2 S$ [% X/ E
- p' S, J- O0 \% S% initialization6 [. {( L- O1 [' L: o3 F
clear;
2 p+ a1 D8 P8 ~/ cn=100;& D3 p0 a. d6 ]* S( C7 b7 a% ?
A=[1 0 1 0;0 1 0 1;0 0 1 0;0 0 0 1];
; i& A$ p0 R6 y/ o$ q7 s: X orx=zeros(1,n); % 实际位置3 J. W h8 M# _8 Z
ry=zeros(1,n); % 实际位置1 n. ]$ u) {/ r1 u
vx=zeros(1,n); % 实际速度. o* y) K# V! t U) T" W! x
vy=zeros(1,n); % 实际速度
& @9 _# K5 k m2 r! J% @rxe=zeros(1,n); % 精确位置
3 e: T6 w0 @5 R5 i; ]8 Crye=zeros(1,n); % 精确位置
9 ?4 h) G- ~9 r, m8 v" v) s8 ]vxe=zeros(1,n); % 精确速度0 {( A$ I! V- U) Q$ P; @
vye=zeros(1,n); % 精确速度
% ]+ I* E+ I. D( O, z/ lrx(1,1)=10; % 位置初始
0 [. T8 O2 [ Ory(1,1)=-5; % 位置初始
8 ]& F5 b1 N( \' M( j! \vx(1,1)=-0.2; % 速度初始$ n/ H9 S) d8 }' E+ Y6 } _
vy(1,1)=0.2; % 速度初始
7 @8 l' l6 d$ B) \+ Trxe(1,1)=10;
9 e% J0 g9 J. `+ A) H% W6 r; X- ~rye(1,1)=-5;
* m* \" [8 j6 u K' v' Z/ uvxe(1,1)=-0.2;
" B" w1 ?/ ]1 H# mvye(1,1)=0.2;5 i. G, ~3 w- V; J
s=[rx;ry;vx;vy];
7 T( r" e/ t w, G) U, @se=[rxe;rye;vxe;vye];& S1 B) x8 i$ x. T
r=zeros(1,n);0 A, g* I( ]6 O9 N
b=zeros(1,n);
. n" @# s ]* E3 y8 i: c J% r& Jrn=zeros(1,n);
4 z5 U- l4 q3 K( Kre=zeros(1,n);9 i; ^0 B, ^6 i n2 ]' p
bn=zeros(1,n);
% s$ p1 j( s, |5 O" Mx=[rn;bn];; j- `) C! b2 L: a4 j5 d
H=zeros(2,4,n);
8 [# A) }8 c1 _. Y# C6 I# e; n/ A$ [3 f# M5 H
ux=sqrt(0.00001)*randn(1,n);7 W# z) k* x9 {- O" E+ \$ S
uy=sqrt(0.00001)*randn(1,n);
' a0 W6 a4 y+ \- o0 kwr=sqrt(0.001)*randn(1,n);0 B$ u" a$ F- Z0 \8 t1 ^
wb=sqrt(0.0001)*randn(1,n);
% Z, w$ b" P) n
& X f; G% L5 z5 D. r# Y9 VQ=[0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 cov(ux) 0;0 0 0 cov(uy)]; % 过程噪声矩阵' x- w6 _- `6 Q9 p2 g" b
C=[cov(wr) 0; 0 cov(wb)]; % 观测噪声矩阵1 Z, }# G6 q; R t
; T; ~3 d2 _/ n! K( z& c& ?- Bss=zeros(4,n);% 精确值# c, V$ _+ \! p' O( J
sn=zeros(4,n); % 估计修正值; V' Z3 I4 d+ T3 Z# B# M- X* ]
sn(:,1)=sn(:,1)+[15;5;0;0]; % 估计修正初始值 @+ F. n3 @8 \; ^
ss=zeros(4,n); % 一步预测! K7 U2 t0 t: [* d, x& `' B/ p* R
hs=zeros(2,n); % 观测值预测
9 q3 A6 O9 W+ z0 u- cinn=zeros(2,n); % 新息, n) C% ^4 E7 x3 }
M=zeros(4,4,n); % 估计均方误差
4 M0 s$ J7 N5 T! M. u9 PM(:,:,1)=M(:,:,1)+[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; % 估计均方误差初始值' b; d8 p% y3 J0 ?
MM=zeros(4,4,n); % 一步预测均方误差$ ~6 `% O, T# v N1 n# D9 A( E
K=zeros(4,2,n); % 卡尔曼增益
" Z; z" I3 m# W& j
8 H7 M6 i. @% A; f6 Y) Y% w& [% kalman filtering
2 d2 n5 m- m o8 |0 }6 t% y s3 d8 {8 j4 b1 K6 k
for t=1:n-1
. o0 K/ v# C, O3 ^% s[n]=As*[n-1]+u[n]4 ?; M. B# Z' C4 |
% x[n]=h(s[n])+w[n]
3 I. O' C6 t& e6 [) w
6 o, m# T. M9 b" T. S9 v1 } vx(1,t+1)=vx(1,t)+ux(1,t+1); % 速度过程方程
$ o3 P9 O# p4 t+ p: C2 L4 { vy(1,t+1)=vy(1,t)+uy(1,t+1); % 速度过程方程
1 z, h& x/ c+ O4 v9 J5 `# B1 ?, d rx(1,t+1)=rx(1,t)+vx(1,t); % 位置过程方程- E! e( P+ `3 Z m3 V) L7 x+ N
ry(1,t+1)=ry(1,t)+vy(1,t); % 位置过程方程* J1 P% t' P8 Q4 g) `* P) T
s(:,t+1)=[rx(1,t+1);ry(1,t+1);vx(1,t+1);vy(1,t+1)]; % 过程矩阵,维数4*1% A. l6 x$ d% i7 q3 R
! S0 r* N0 q! z m l4 O vxe(1,t+1)=vxe(1,t); % 理论精确值
6 Q3 `0 D( b& |3 H" k vye(1,t+1)=vye(1,t); % 理论精确值
2 w ~ S2 V1 r! s8 q8 k$ l/ z, b9 m. p rxe(1,t+1)=rxe(1,t)+vxe(1,t); % 理论精确值
& F$ c6 g5 W( d) W8 A$ ~5 s" W6 S" n rye(1,t+1)=rye(1,t)+vye(1,t); % 理论精确值
, ^5 S; a0 E$ y& A# T n se(:,t+1)=[rxe(1,t+1);rye(1,t+1);vxe(1,t+1);vye(1,t+1)]; % 过程矩阵,维数4*1
0 l( d! N+ m M$ J' ?5 l& J( ]* _) ^3 b3 h) C9 W' o7 J4 s
r(1,t+1)=(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2); % 理论测量距离(含测量误差)
" j# X- @" G0 v. x b(1,t+1)=atan(ry(1,t+1)/rx(1,t+1)); % 理论测量方位(含测量误差)
; r- a. m5 Z8 A rn(1,t+1)=r(1,t+1)+wr(1,t+1); % 实际测量距离# U& F7 ~/ y1 s% P: R. O4 d
re(1,t+1)=(rxe(1,t+1)^2+rye(1,t+1)^2)^(1/2); % 理论测量距离(含测量误差)
% A Q! y0 K4 M6 X4 [4 s bn(1,t+1)=b(1,t+1)+wb(1,t+1); % 实际测量方位( T" @# y& y9 C+ k
x(:,t+1)=[rn(1,t+1);bn(1,t+1)]; % 观测矩阵,维数2*1
& U8 p. G& ?4 e2 |1 o7 b
{( `- |" z, O5 {6 K % 对观测方程求导,得到雅可比矩阵H,维数2*4
( w) P6 i; ^: B H(:,:,t+1)=[rx(1,t+1)/((rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2)) ry(1,t+1)/((rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2)) 0 0;-ry(1,t+1)/(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2) rx(1,t+1)/(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2) 0 0];
4 `5 p8 t& u* x$ ?" C; h* v
1 s+ v# C* S: E. p6 ]
d# l( P) K0 d" T MM(:,:,t+1)=A*M(:,:,t)*A'+Q; % 一步预测均方误差5 ^5 S9 C. z) }& V6 ?+ [" U
K(:,:,t+1)=MM(:,:,t+1)*H(:,:,t+1)'/(C+H(:,:,t+1)*MM(:,:,t+1)*H(:,:,t+1)'); % 卡尔曼增益
7 F% E& C3 T: K0 y M(:,:,t+1)=(eye(4)-K(:,:,t+1)*H(:,:,t+1))*MM(:,:,t+1);% 估计均方误差" x6 T! d" C, M7 u0 E0 X `3 \
ss(:,t+1)=A*sn(:,t); % 一步预测) B6 s' j2 {$ f; @% J: |
hs(:,t+1)=[((ss(1,t+1))^2+(ss(2,t+1))^2)^(1/2);atan(ss(2,t+1)/ss(1,t+1))]; % 观测值预测8 b. u0 q# K4 r& b
inn(:,t+1)=x(:,t+1)-hs(:,t+1); % 新息 l) Z2 R2 g. `# Z# }* M; _# W
sn(:,t+1)=ss(:,t+1)+K(:,:,t+1)*inn(:,t+1); % 预测修正
! O& r0 e8 `2 r, ^- j$ Wend' k w, |/ M# x1 D' |- f+ f" Q
6 v' o8 e" P1 o
subplot(2,1,1);1 C8 l2 E+ j! Y3 h% x' W8 e
plot(sn(1,:),sn(2,:)); % kalman估计值
9 Z' I4 x( G& E3 Jhold on;
% `; m2 [% ?) |plot(se(1,:),se(2,:),'-r'); % 理论精确值
6 e5 ? D. A8 C; A, m8 {8 n0 Q# e4 |4 J0 X; W% E
subplot(2,1,2);
4 _; C1 f; D! S/ G; vplot(rn); % 实际测量距离
- C: H5 g, m* d$ w) mhold on;
1 C; W9 S1 c! o1 Gplot(re,'-g'); % 理论精确值8 C- F5 K: S" ~, G/ \' z8 E/ x: ^
5 p2 f" |7 O* g
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