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% function EXT Kalman Filtering* F: r5 f* m r5 G
% vx[n]=vx[n-1]+ux[n]
7 z2 V/ ~% x, G- q7 B% vy[n]=vy[n-1]+uy[n]2 f1 c% c% I$ a& i) ]' R. \4 ?( r
% rx[n]=rx[n-1]+vx[n-1]*t
; a- b d3 u; H! k% ry[n]=ry[n-1]+vy[n-1]*t& e5 ]2 {1 P/ g/ _' p. Y: k
% s[n]=[rx[n];ry[n];vx[n];vy[n]]
- e+ _: n# v4 d _% A=[1 0 t 0;0 1 0 t;0 0 1 0;0 0 0 1]
6 G) g" _, q5 D% `3 i1 s I% s[n-1]=[rx[n-1];ry[n-1];vx[n-1];vy[n-1]]+ B. C0 X9 P0 {2 F: y; ~- ~
% u[n]=[0;0;ux[n];uy[n]]6 O: G! ^: z( f/ e/ a
% s[n]=As*[n-1]+u[n]
3 d7 |, }9 w2 R( g: k/ W6 R% x[n]=h(s[n])+w[n]
% x8 ]& X. y% t9 `0 T
% ?! b4 h! S# h7 O5 v% initialization
2 p6 n( T" D3 Q) o) O+ U! i- }" Dclear;
1 f5 ^' q& |% x* S5 ], e" gn=100;$ H) |; f7 n: `; w5 D
A=[1 0 1 0;0 1 0 1;0 0 1 0;0 0 0 1];9 |6 ^9 p/ z3 z/ e
rx=zeros(1,n); % 实际位置; Q$ j6 ^. P: ?+ i- O1 M; _
ry=zeros(1,n); % 实际位置: C* g4 a' Q: P3 u" I' a" b/ t
vx=zeros(1,n); % 实际速度
1 D1 r, R1 f) L! e* Dvy=zeros(1,n); % 实际速度
- P+ r: R* }1 M+ Z* t* H+ ?rxe=zeros(1,n); % 精确位置
7 e4 T& x/ D' N! Grye=zeros(1,n); % 精确位置
, P3 X: U& n* {2 K9 G F/ N* vvxe=zeros(1,n); % 精确速度
" h- S, [ l& T1 `vye=zeros(1,n); % 精确速度
# s0 a+ c! V9 e' q" G0 H, c6 ~rx(1,1)=10; % 位置初始& ^2 a* D, ], S8 d
ry(1,1)=-5; % 位置初始/ X6 J/ N& @/ N0 O" s' q" N# C
vx(1,1)=-0.2; % 速度初始$ Q# C0 E2 U' O
vy(1,1)=0.2; % 速度初始$ d" Q. T. q1 w( i
rxe(1,1)=10;3 G1 \4 d0 r' P; l
rye(1,1)=-5;
$ h- V8 Q& R7 F0 nvxe(1,1)=-0.2;
8 R! W; }: j6 o9 }+ z7 l! b) v& avye(1,1)=0.2;
! B( @( B2 L. q- z. Ls=[rx;ry;vx;vy];$ e8 q( H, v; t9 ]7 J
se=[rxe;rye;vxe;vye];
# ^6 P! @0 u; @) v r$ Nr=zeros(1,n);
+ A4 ]) @+ S3 L1 q3 {9 M lb=zeros(1,n);5 Z- G0 F; z; e! U8 Z- H
rn=zeros(1,n);, R* E9 ]& H% [( ~" i' l
re=zeros(1,n);
; [& I' }& ]: I+ ybn=zeros(1,n);) S5 [; y( q% o* t$ J
x=[rn;bn];# ~" l, T( _( U: T/ w5 ^# d
H=zeros(2,4,n);
: d" }% |' w/ s& ^' _ Z) k+ x+ v* a: } x% N
ux=sqrt(0.00001)*randn(1,n);8 B! h% @1 f; R6 T
uy=sqrt(0.00001)*randn(1,n);
z K9 R' c/ R7 wwr=sqrt(0.001)*randn(1,n);# F8 }9 f$ ]9 C! Q
wb=sqrt(0.0001)*randn(1,n);' }1 |2 c4 W- \
% G! |6 n, `7 L5 oQ=[0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 cov(ux) 0;0 0 0 cov(uy)]; % 过程噪声矩阵$ }' s1 T- J* k# w/ e
C=[cov(wr) 0; 0 cov(wb)]; % 观测噪声矩阵
8 a0 s$ h4 H% J+ Z4 H& Y2 w0 o( l8 f# `1 b2 Z/ ?5 k9 b
ss=zeros(4,n);% 精确值
+ t0 p- f/ V. n0 E4 msn=zeros(4,n); % 估计修正值
2 Q4 H+ ~0 Z) t3 k# jsn(:,1)=sn(:,1)+[15;5;0;0]; % 估计修正初始值; ~8 i) v ~' m" _- B8 s
ss=zeros(4,n); % 一步预测
1 e" y, o2 G. whs=zeros(2,n); % 观测值预测
d$ }1 H+ H* A# y- v4 Y' P/ Dinn=zeros(2,n); % 新息
: o4 V! b; v; q: V- @M=zeros(4,4,n); % 估计均方误差
/ C5 K: \& r: s' @4 CM(:,:,1)=M(:,:,1)+[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; % 估计均方误差初始值% a3 Y8 }! N! y8 J/ }& [/ K5 F1 d
MM=zeros(4,4,n); % 一步预测均方误差
& ]4 @0 b$ k8 T. O( f% [8 O% [: UK=zeros(4,2,n); % 卡尔曼增益: B8 {5 L" ?; o8 t R5 G
% V# W+ T: B0 I% W3 o
% kalman filtering
P$ \% S' V9 b0 H4 A, |1 Z: V% N
# Q0 Y2 ?! h8 x* bfor t=1:n-1& i3 b8 U0 r$ T& R
% s[n]=As*[n-1]+u[n]
4 {) k: ]! @ ?% x[n]=h(s[n])+w[n]
. z# ^$ h( L! g0 {' p' R1 M
+ V: i" f+ M$ s- ? g f vx(1,t+1)=vx(1,t)+ux(1,t+1); % 速度过程方程
7 j* n) z l, F8 q vy(1,t+1)=vy(1,t)+uy(1,t+1); % 速度过程方程
4 d' e0 j# }2 C9 g) X8 w6 |0 r1 N rx(1,t+1)=rx(1,t)+vx(1,t); % 位置过程方程
( K2 C% [' D, w% E D( X ry(1,t+1)=ry(1,t)+vy(1,t); % 位置过程方程% h" c& A: k9 w
s(:,t+1)=[rx(1,t+1);ry(1,t+1);vx(1,t+1);vy(1,t+1)]; % 过程矩阵,维数4*1' s7 h& p5 R- p6 B, H. j
; t( {4 J/ ?! N1 c9 U" I
vxe(1,t+1)=vxe(1,t); % 理论精确值
" d% X: |" T) W- _ vye(1,t+1)=vye(1,t); % 理论精确值# q' ?4 ], \, j0 H
rxe(1,t+1)=rxe(1,t)+vxe(1,t); % 理论精确值
* l8 a2 t ?% F7 H; j2 ` rye(1,t+1)=rye(1,t)+vye(1,t); % 理论精确值
/ C. c, v' l1 Q7 N% ^8 R, P se(:,t+1)=[rxe(1,t+1);rye(1,t+1);vxe(1,t+1);vye(1,t+1)]; % 过程矩阵,维数4*1
0 J/ ^. Z7 x2 f0 K* z& k; Q/ X7 e/ _/ L) m9 y+ v# D8 i1 m
r(1,t+1)=(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2); % 理论测量距离(含测量误差)
1 r3 r* r" v' V* C b(1,t+1)=atan(ry(1,t+1)/rx(1,t+1)); % 理论测量方位(含测量误差)
+ J8 \' G/ u' v, i5 G Z' ` rn(1,t+1)=r(1,t+1)+wr(1,t+1); % 实际测量距离7 d+ M' z4 V7 C# k8 J- @
re(1,t+1)=(rxe(1,t+1)^2+rye(1,t+1)^2)^(1/2); % 理论测量距离(含测量误差)
3 j* F( J) e3 C bn(1,t+1)=b(1,t+1)+wb(1,t+1); % 实际测量方位
! V- \. v3 H( b4 ^ x(:,t+1)=[rn(1,t+1);bn(1,t+1)]; % 观测矩阵,维数2*12 l9 R0 p# t- g! _" t1 K4 k# I) W
+ L! Q3 U2 A, W7 G( D8 e& J
% 对观测方程求导,得到雅可比矩阵H,维数2*4( t y4 B! L ^
H(:,:,t+1)=[rx(1,t+1)/((rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2)) ry(1,t+1)/((rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2)) 0 0;-ry(1,t+1)/(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2) rx(1,t+1)/(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2) 0 0];0 o- g% v4 V+ X& [
0 G2 v; m2 z- U3 _* `
3 k0 R, ~6 {2 B0 c) F MM(:,:,t+1)=A*M(:,:,t)*A'+Q; % 一步预测均方误差
# L' x9 I/ ~9 U9 F K(:,:,t+1)=MM(:,:,t+1)*H(:,:,t+1)'/(C+H(:,:,t+1)*MM(:,:,t+1)*H(:,:,t+1)'); % 卡尔曼增益
5 `; j6 n5 \2 ]4 N M(:,:,t+1)=(eye(4)-K(:,:,t+1)*H(:,:,t+1))*MM(:,:,t+1);% 估计均方误差
4 t [$ M5 {3 p9 Z, h ss(:,t+1)=A*sn(:,t); % 一步预测0 m/ E7 N+ l) _2 G" k3 t9 S3 D
hs(:,t+1)=[((ss(1,t+1))^2+(ss(2,t+1))^2)^(1/2);atan(ss(2,t+1)/ss(1,t+1))]; % 观测值预测 e# s [7 L7 L' ?) L
inn(:,t+1)=x(:,t+1)-hs(:,t+1); % 新息5 y* r: y2 X- @- W4 ^7 ?" l8 @
sn(:,t+1)=ss(:,t+1)+K(:,:,t+1)*inn(:,t+1); % 预测修正# Q+ J0 R, N2 D0 _ x' g
end" b# S/ p* q m( D! H; Y3 l
- E7 v$ k" _1 U! N" ^& r2 b5 q
subplot(2,1,1);. T1 X) r# l5 }$ x1 \: y0 M
plot(sn(1,:),sn(2,:)); % kalman估计值# m) Y3 h# y6 t h- e2 C. o
hold on;
/ [4 F- P ~) A- `9 D$ V! zplot(se(1,:),se(2,:),'-r'); % 理论精确值
+ \$ j) }3 Y( H2 |7 M C2 @7 y
% G# M+ `% G& G( @subplot(2,1,2); 7 `7 V; Y8 y, Q- H- ~$ {
plot(rn); % 实际测量距离
2 @7 ^3 J9 v0 A' T1 Q, B& Ahold on;
" _/ r: K' u6 [# d1 ?plot(re,'-g'); % 理论精确值
0 N$ ^5 d& Z% q" t" o U# Y# G0 F% h
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