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% function EXT Kalman Filtering
3 t; q$ ^& p. I: k% vx[n]=vx[n-1]+ux[n]6 e" h- P5 x2 g' r& ^' T. P/ L
% vy[n]=vy[n-1]+uy[n]
+ m g$ F" s- `0 L. V; c% rx[n]=rx[n-1]+vx[n-1]*t. f. u) K7 z) x, ~6 A2 f% J. M! i* `
% ry[n]=ry[n-1]+vy[n-1]*t
, n9 {4 W8 l9 f S& O% s[n]=[rx[n];ry[n];vx[n];vy[n]]
3 g7 _2 ]! `! w8 v" t% A=[1 0 t 0;0 1 0 t;0 0 1 0;0 0 0 1]
! Z! d1 h }' R( Z, m% s[n-1]=[rx[n-1];ry[n-1];vx[n-1];vy[n-1]]
* j5 [& S W$ E5 W0 ^! s% D# q5 O% u[n]=[0;0;ux[n];uy[n]]
2 A2 H3 \# @6 K2 {- @' c% s[n]=As*[n-1]+u[n]1 ], V h& M- \6 X3 _* r2 Q0 `& _7 d+ P
% x[n]=h(s[n])+w[n]
1 g0 {# Y) u2 W8 ^! v4 E) ^0 [) X1 l" i
% initialization5 q( u# T6 d, I8 i+ Z4 K9 u: A
clear;5 U4 T' G/ A( }: W- g
n=100;2 E: }! I8 Z0 c3 m3 i& y
A=[1 0 1 0;0 1 0 1;0 0 1 0;0 0 0 1];
% _9 }0 H* S2 i* yrx=zeros(1,n); % 实际位置
) j; z0 W! J6 o# ?$ mry=zeros(1,n); % 实际位置
' r1 A7 V' q3 `& ~! R/ W* P7 fvx=zeros(1,n); % 实际速度7 N$ T9 y* I% o
vy=zeros(1,n); % 实际速度( D$ b: W) M. _
rxe=zeros(1,n); % 精确位置
0 C" ]- j1 b Qrye=zeros(1,n); % 精确位置1 O0 R& j }& _3 F' \) D- `
vxe=zeros(1,n); % 精确速度: U+ y3 S9 h8 l r% ?
vye=zeros(1,n); % 精确速度5 u4 |0 }3 F: g) r2 e+ z5 ]# _
rx(1,1)=10; % 位置初始9 x/ w1 ~1 M- ?, l8 O) J. V; Y5 I8 \
ry(1,1)=-5; % 位置初始* E- q$ F8 ]) @9 o% {0 p% u
vx(1,1)=-0.2; % 速度初始( {7 ]8 v* y# q; A
vy(1,1)=0.2; % 速度初始
0 c. f# K6 }5 q9 zrxe(1,1)=10; X- N/ N) t1 f# X/ F
rye(1,1)=-5;( f7 Q" b6 J! ]% b2 _, W
vxe(1,1)=-0.2;+ u" _9 E. Y+ ^% \
vye(1,1)=0.2;
0 ]) h, e) H& E- _s=[rx;ry;vx;vy];
2 w& l9 W* Y. @6 g2 Ese=[rxe;rye;vxe;vye];
$ O! `6 X, A4 z' A) {* ?1 Pr=zeros(1,n);# k- r. L* N* o' N; A) `
b=zeros(1,n);( I8 V4 e. ^. j# w
rn=zeros(1,n);2 o: _) \# w) h$ Y5 z' E8 A& V& o
re=zeros(1,n);' R( f$ g% z1 F# A% H6 _- E
bn=zeros(1,n);
, U! R/ y$ {( C0 @! v1 b$ a3 ^x=[rn;bn];5 T. [. b) f9 [; T. o1 A
H=zeros(2,4,n);
6 c9 |" B- u3 ^8 ^) x# B* C0 r; d8 ~/ n3 h; R
ux=sqrt(0.00001)*randn(1,n);+ `% E5 @6 n/ Z/ C- r6 K
uy=sqrt(0.00001)*randn(1,n);
8 y" Z& ^9 z8 z2 ^wr=sqrt(0.001)*randn(1,n);# d5 ? Q7 W& u$ `' W- }( p# D- `
wb=sqrt(0.0001)*randn(1,n);" A5 D# j* T2 {: b) P' _
1 n0 x* g* {( y; J. j5 JQ=[0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 cov(ux) 0;0 0 0 cov(uy)]; % 过程噪声矩阵3 d" c6 c! x' c z9 x, V
C=[cov(wr) 0; 0 cov(wb)]; % 观测噪声矩阵
9 H- ~8 m& D# N* q8 ^! t: o1 e
$ P% @) F! e. l5 p( v/ D) wss=zeros(4,n);% 精确值
- e3 S7 {* R& e( D0 B' h' C) o+ D* asn=zeros(4,n); % 估计修正值
- S+ P+ e+ C5 }8 U% }sn(:,1)=sn(:,1)+[15;5;0;0]; % 估计修正初始值3 M9 s- d6 w1 x/ ~' l( G
ss=zeros(4,n); % 一步预测; e1 a Z9 A1 R* _, J/ F2 O
hs=zeros(2,n); % 观测值预测
, a& k5 n; N# ^+ S. g; ainn=zeros(2,n); % 新息" Z- @# V1 N7 K5 N+ }
M=zeros(4,4,n); % 估计均方误差
8 P- v4 q' Z; Y9 h0 RM(:,:,1)=M(:,:,1)+[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; % 估计均方误差初始值 y5 {/ [' ?$ o& W5 d
MM=zeros(4,4,n); % 一步预测均方误差
& G# Q/ U; l* X- e' {6 GK=zeros(4,2,n); % 卡尔曼增益
; A: a/ A6 I2 H" b7 p5 _4 J$ [& {) `4 C+ y
% kalman filtering& S% \2 C" C2 [5 _
% ?7 p7 T5 `+ L5 `( a8 e Zfor t=1:n-1
7 r( B# r+ }: D. m0 }; Z G% s[n]=As*[n-1]+u[n]
2 h9 w0 G& J. N1 H2 S' x1 j% x[n]=h(s[n])+w[n]3 Y+ s% H5 V# _" X% F. G' u% Q: z
) ]% A( M' }+ }- b( J vx(1,t+1)=vx(1,t)+ux(1,t+1); % 速度过程方程9 P y7 d) d% F7 J% d9 m
vy(1,t+1)=vy(1,t)+uy(1,t+1); % 速度过程方程( ?0 _" g8 |; ?! g
rx(1,t+1)=rx(1,t)+vx(1,t); % 位置过程方程
" i: c# J/ K* T* _+ a2 W* n ry(1,t+1)=ry(1,t)+vy(1,t); % 位置过程方程
! x, g9 ?- T5 X s(:,t+1)=[rx(1,t+1);ry(1,t+1);vx(1,t+1);vy(1,t+1)]; % 过程矩阵,维数4*1
0 x8 j; T) X- S3 J# ?% o
( a) Q V4 I' o9 p vxe(1,t+1)=vxe(1,t); % 理论精确值, y( s0 z/ G2 ^# W
vye(1,t+1)=vye(1,t); % 理论精确值6 m% n5 H% i2 t* d5 d# A
rxe(1,t+1)=rxe(1,t)+vxe(1,t); % 理论精确值' a- Y9 e4 Y: } L8 R$ @2 y
rye(1,t+1)=rye(1,t)+vye(1,t); % 理论精确值
0 W7 ^) [1 N( N( R+ v se(:,t+1)=[rxe(1,t+1);rye(1,t+1);vxe(1,t+1);vye(1,t+1)]; % 过程矩阵,维数4*11 s* y( ]4 |! ?2 |
8 F& b3 O, |2 w6 C7 } r(1,t+1)=(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2); % 理论测量距离(含测量误差)
, E7 g) E9 d! ?/ H b(1,t+1)=atan(ry(1,t+1)/rx(1,t+1)); % 理论测量方位(含测量误差), a* L5 t/ y9 z; W" }/ o% e& W R
rn(1,t+1)=r(1,t+1)+wr(1,t+1); % 实际测量距离
! V" y% t+ [/ I5 B; F0 D7 i re(1,t+1)=(rxe(1,t+1)^2+rye(1,t+1)^2)^(1/2); % 理论测量距离(含测量误差)
; U" \" m- m) J bn(1,t+1)=b(1,t+1)+wb(1,t+1); % 实际测量方位
1 F1 {& C) r! f) |# {. H" n2 I5 x x(:,t+1)=[rn(1,t+1);bn(1,t+1)]; % 观测矩阵,维数2*14 W3 G' m7 N8 z: c& ~
. k) c0 b, C7 t5 ]! V- z! }
% 对观测方程求导,得到雅可比矩阵H,维数2*4
I J5 R& v& s% x( U* m H(:,:,t+1)=[rx(1,t+1)/((rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2)) ry(1,t+1)/((rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2)^(1/2)) 0 0;-ry(1,t+1)/(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2) rx(1,t+1)/(rx(1,t+1)^2+ry(1,t+1)^2) 0 0];' m5 c' {- z* I- D' F1 k! W
4 z4 C6 ?/ R0 m1 x' n2 G& V2 r4 c. d
* d4 y+ n( H' q* z/ F MM(:,:,t+1)=A*M(:,:,t)*A'+Q; % 一步预测均方误差
3 J, g3 t5 O% x, w* j* c+ m K(:,:,t+1)=MM(:,:,t+1)*H(:,:,t+1)'/(C+H(:,:,t+1)*MM(:,:,t+1)*H(:,:,t+1)'); % 卡尔曼增益
, S8 v5 }& p M( _ M(:,:,t+1)=(eye(4)-K(:,:,t+1)*H(:,:,t+1))*MM(:,:,t+1);% 估计均方误差3 ^: o t8 L0 M% e9 a M; t' ` a# o
ss(:,t+1)=A*sn(:,t); % 一步预测6 D% p- @' e! ?: t+ {4 I
hs(:,t+1)=[((ss(1,t+1))^2+(ss(2,t+1))^2)^(1/2);atan(ss(2,t+1)/ss(1,t+1))]; % 观测值预测
6 `5 t* i( ?4 }8 V' D; A; u inn(:,t+1)=x(:,t+1)-hs(:,t+1); % 新息4 h6 H! y; k B6 U
sn(:,t+1)=ss(:,t+1)+K(:,:,t+1)*inn(:,t+1); % 预测修正
: x$ A- d5 v9 N* c5 G9 aend$ N3 O4 k' o% j5 ]
+ z# Z. c$ ]/ a+ J& J" F3 L1 Osubplot(2,1,1);
2 G. S/ e S$ rplot(sn(1,:),sn(2,:)); % kalman估计值5 D8 ?8 S$ @# ?+ B% {. N+ X
hold on;
1 O4 h& w7 y5 `$ e# cplot(se(1,:),se(2,:),'-r'); % 理论精确值" r0 R) ~( ^4 ~0 H! F* ?0 @6 r# j' ~
# R; a# n( P: Z7 K4 ~3 @/ }: P: W
subplot(2,1,2);
& ^; }" ~- v7 R' z2 Wplot(rn); % 实际测量距离
: F0 f- \4 G7 ihold on;
7 p2 S& d9 i2 \* yplot(re,'-g'); % 理论精确值7 J) l% f+ t- `8 j
% B$ T# P: b/ X( O
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