工频相量计算方法综述

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相量法是分析线性正弦稳态电路和时谐电磁场的一种数学表达方法，由德国出生的美籍电气工程师Charles P. Steinmetz于1893年8月提出的。“相量”是相量法中的一个重要概念，它代表一个时间的正弦函数，其模代表正弦量的有效值（或振幅），其辐角代表正弦量的初相角。美国威斯康辛大学麦迪逊分校电气工程系教授Edward Bennet于1941年8月至1944年3月期间向AIEE提议用“phasor”来表示正弦量，该提议后来被AIEE采纳。现代意义的“相量”可能最早是由上海交通大学电机工程系林海明先生于20世纪50年代编写讲稿，翻译前苏联的教材时，从英文“phasor”翻译过来的。后来“相量”一词主要用于物理学和电工学领域[14]。

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在电工原理中，正弦激励的线性电路的各个电压、电流响应仅在幅值和相位上不同，它们具有与激励源相同的频率，因此采用相量来描述各个电压、电流量比较方便。同样地，在传统电力系统中，同步电机被原动机带动以同步转速旋转（50Hz或60Hz），将功率通过输配电网送至负荷。当系统处于理想的稳态时，各处电压、电流响应应均为同频的正弦量，因此它们也可用相量来简化表示。一般地，由于电力系统中的相量是相对于工频频率而言的，所以这些相量也被称做“工频相量”或“基频相量”。本文将使用“工频相量”一词。

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鉴于工频相量在电力系统中的广泛应用，工频相量的提取一直都是电力系统领域中的研究热点。就目前国内外的研究情况而言，相量测量的算法可分为：过零检测法[15-17]、基于傅里叶变换的算法[18-35]、最小二乘法[36]及其它算法[37-50]。下面将分别对这些算法的特点进行介绍。

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过零检测法最早是由日本学者Y.Ohura等人于1990年在电力系统相角测量中开始使用的[15]，在电力系统中某些相角及相量测量元件和装置中有一定的应用[16-17]。过零检测法是一种十分直观的方法，只需将被测工频信号的过零点时刻与某一时间标准相比即可得出相角差。该方法虽然原理简单、硬件上较易实现，但此方法假定系统频率是稳定不变的，而实际系统中，电压频率是波动的。另外，电压过零点会受到谐波的影响，给过零检测电路带来测量误差。

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傅里叶变换最早由法国数学家Fourier于1822年提出并应用于热传导理论[18]，后来又应用于振动理论。

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傅氏算法的基本原理是建立一个傅里叶数字滤波系统，可滤出信号中的基频分量。该算法假设输入信号为一个周期性信号，且只包含恒定的直流分量和各种整次谐波分量。

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该算法根据计算使用的数据窗长不同分为全周傅氏算法和半周傅氏算法，使用一个基频周波数据的相量计算称作全周傅氏算法，使用半个基频周波数据的相量计算称作半周傅氏算法。美国通用电气公司(General Electric Company)于2001年发布了一个关于线路差动继电器的指导手册《Line Differential Relay Series Instruction Manual》[19]，该手册中首次提出了小矢量数字滤波器算法，该算法没有要求数据窗必须是半波的整数倍，一般可以取小于半周波的数据窗进行小矢量计算[20-22]。

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提取信号中的基频相量时，全周傅氏算法可以滤除所有整次谐波分量，但计算所需的数据窗为一个周波，响应速度相对较慢。半周傅氏算法只需要半个周波的数据即可进行相量计算，但它只能滤除奇次谐波，因此滤波能力相对较弱。使用四分之一周波数据进行计算的小矢量算法响应速度更快，但对于10次以下的谐波都有较大的放大效果，其中对3次和4次谐波的放大倍数高达5倍[20]。这三种算法的优缺点可以从基于傅里叶变换的时频分析不确定性原理中直观地体会到[23]。

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长期以来，使用傅里叶算法进行的工频相量提取一直面临着两大难题：一、频率偏移带来的栅栏效应和频谱泄露对算法精度的影响；二、信号中谐波及衰减分量对算法精度的影响。

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1）关于消除频率偏移的相关研究

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针对频率偏移时基于傅里叶变换的相量测量算法，国内外学者们提出了一系列改进措施，这些改进措施大致可分为以下两类：（1）校正基频频率，然后进行相量提取[24-28]；（2）采用非同步采样弥补频率偏移，然后提取相量[29]。

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文献[24]基于快速傅里叶算法，定义了一个总扩散能量函数(Total Diffusion Energy)，通过搜索的方式找到使总扩散能量函数取最小值时对应的信号频率，然后利用这个频率作为算法要使用的工频来进行相量计算。

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文献[25]使用含有单一频率的正弦信号模型，推导出了利用两个相隔一定时间间隔相量之比的辐角表达式来修正工频频率，从而进行工频相量提取。

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文献[26]使用周期信号的离散傅里叶指数形式，并假设信号中只有单一频率分量，进而推导出了用于修正频率偏移的相位差表达式，估计出更接近真实工频的频率值后，再进行工频相量提取。

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文献[27]使用含有单一频率的正弦信号模型，求出它的离散傅里叶表达式的基波项，然后利用文献[26]中的相位差表达式来修正该基波频率，从而进行工频相量提取。

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文献[28]使用含有单一频率的信号，推导出了用于修正频率偏移的相位差表达式，欲得到该相位差需先计算两个时刻的相量。此外，该文献还使用了含两个频率分量的信号，推导出了用于修正频率偏移的相位差表达式，此时需要计算相量个数变为五个。该文献称，用类似的方法可以计算含有更多谐波分量时用于修正基频频率的相位表达式。

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在以上这几种算法中，文献[25-27]都使用含有单一频率的信号推导出了修正工频频率所需的修正量，用其修正工频频率后再进行工频相量提取。这里有一点需要注意，就是这些修正量本质上都来自于相位信息，而频率偏移时这些相位的计算本身就是不精确的，虽然含有校正工频的功能，但是无法一次校正至实际工频频率。实际上存在一种更严重的情况，就是当信号含有谐波、非周期分量时，若它们对相位计算的影响大到使修正量无法起到正确校正频率的功能时，这些算法都会失效。文献[28]不但给出了含单一频率时的相位修正量表达式，还推导出了含有两个频率分量时的表达式。但是，从这两个表达式可以看出，随着考虑更多的谐波分量，计算准确的相位修正量表达式所需的相量个数也不断增加，计算量也越来越大。文献[24]所定义的总扩散能量函数，具有在信号中实际工频频率处取得最小值的特性，因而可以使用搜索的方法找出实际频率分量。但是该文献只对含有两个频率分量的信号进行了测试，而且没有给出当信号中含有直流衰减分量时总扩散能量函数的特性。

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文献[29]使用含有单一频率的信号，推导出了频率偏移时用来修正采样率的相位差表达式，并设计了一个负反馈系统进行工频相量测量。与校正基频频率的措施类似，该方法所推导出的采样率修正量表达式是基于单一频率信号的，无法保证当信号含有谐波和非周期分量时，能够给出正确的采样率校正值。

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结合文献[25-29]可以看出，各位学者都想寻找一种能够描述频率偏移量的表达式，并以此来修正算法中的基频或采样率，从而达到精确工频相量提取的目的。其中文献[25-27]和文献[29]都仅对含有一个频率分量的信号进行了推导，虽然文献[28]也推导了含有两个频率分量的信号，但是很容易看出表达式复杂度会随这信号中频率分量个数的增加而越来越高，计算量也越来越大。至此，现有的研究还很少考虑信号中分数次谐波、衰减直流分量以及白噪声的影响。文献[24]的方法并没有对信号中频率分量的个数进行限制，因此这个思路具有一定的启发性。

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2）关于消除谐波及衰减直流分量的相关研究

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目前国内外很少有学者研究如何消除分数次谐波给基于傅里叶变换的相量提取算法带来的误差。由于傅里叶算法假设信号是由基波及其整次谐波构成的，分数次谐波被算法看作是基波和这些整次谐波的线性组合，已经不再以分数次谐波的形式被算法接受。因此，无法抑制分数次谐波是傅里叶算法本身特点所决定的，所有基于傅里叶算法的相量提取算法都会受到分数次谐波的影响，而且这个原理误差是无法在傅氏算法的基础上消除的。

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针对消除衰减直流分量的影响，国内外学者提出了一系列算法[30-35]，理论上有效地消除了衰减直流分量的影响。鉴于目前已有大量的研究成果，这里仅介绍原理上精确消除了直流衰减分量的一些典型算法和某些其它算法。

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文献[30]使用含有各种整次谐波和一个衰减直流分量的信号模型，给出了一种精确计算衰减直流分量的时间常数和幅值的方法。该方法需要增加两个采样点，进行三次傅氏算法的计算。而且该方法应用于某些其它的滤波算法时，同样也可以完全滤除衰减直流分量。

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文献[31]同样使用了含有各种整次谐波和一个衰减直流分量的信号模型，给出了一种精确计算衰减直流分量的时间常数和幅值的方法。该方法需要增加一个采样点，使用两次傅氏算法。

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文献[32]给出了一种精确计算衰减直流分量的时间常数和幅值的方法，该方法需要增加一个采样点，利用该点和数据窗内与之相差一个周期的采样点算出直流衰减分量的衰减时间常数和初始幅值，然后对数据窗内的其它数据进行修正，最后进行工频相量测量。该算法原理上精确，但是考虑到计算量，作者采用牛顿法来修正数据窗内的采样值，因此引入了误差。该算法同样是针对采样数据进行修正，修正后的数据可以提供给任何其它的算法。

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文献[33]在不用增加采样点的前提下给出了一种精确计算衰减直流分量的时间常数和幅值的方法。但该算法要求每周波采样点数必须是4的整数倍。

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文献[34]引入了滤波算子对衰减直流分量进行计算，是一种精确的算法，并且算法对采样点或数据窗没有特殊要求。

8 a( v% u$ t' ?4 a7 K1 b! e8 `; `, r

文献[35]提出了一种修正采样数据的方法，该方法减弱了衰减直流分量的影响，修正后的数据可以提供给任何其它的算法进行相量计算。

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综上所述，当不考虑信号中工频频率偏移和分数次谐波时，目前从理论上可以通过算法消除衰减直流分量对工频相量提取的影响。

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最小二乘法由德国数学家、物理学家、大地测量学家高斯在1809年发表于他的著作《天体运动论》中，而法国科学家勒让德最早于1806年独立发现了最小二乘法。

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在电力系统中，最小二乘算法是将输入的暂态电气量与一个预设的含有非周期分量及某些谐波分量的函数按最小二乘方原理进行拟合，从而估计出输入信号中的基频及各种暂态分量的幅值和相角。

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最小二乘算法具有滤波特性好、精度高及数据窗长可变等优点，但需要的数据窗较长，算法的响应较慢，使其在电力系统继电保护中的应用受到局限。另外，最小二乘算法可以任意预设需要拟合的函数模型，反过来说，就是要必须先给出信号的模型，即必须预先指定信号要包含哪些整次或非整次谐波、直流衰减分量等。而实际上这些信息很难先验地知道，故计算所使用的信号模型总会带来不可忽视的误差。最后，最小二乘算法的精度和计算时间会受到采样率、数据窗长度的影响[36]。

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目前有一些关于降低最小二乘法运算量的研究，这些研究成果对促进最小二乘法在电力系统继电保护中的应用有很大帮助。随着计算机技术的不断进步，数字信号处理器的性能不断提高，最小二乘法的计算量可能将渐渐变成一个次要的问题。如何选取更准确的信号模型、如何消除各种噪声分量的影响等来提高算法的精度依然是限制最小二乘法应用的主要问题。

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卡尔曼滤波算法最早由美国学者Swerling于1958年提出，后来被Kalman用于解决阿波罗计划的轨道预测问题。目前，卡尔曼滤波器已被应用于动态定位、经济学、惯性引导系统、雷达跟踪器、卫星导航灯各个领域中动态系统的状态估计问题。20世纪80年代初期，卡尔曼滤波技术被引入微机继电保护领域。该算法将故障信号中的基频分量看作有效信息，将谐波、衰减直流等看作噪声，连续测量时，通过不断地预测和校正，估计出信号中基频和相量。卡尔曼滤波在精度、速度、直流分量和谐波的抑制方面都优于傅里叶算法，该算法所需的数据窗短，运算量较小，在微机保护上的运用受到了人们的重视[37-39]。使用卡尔曼滤波算法的一个难点是模型的选择，另一个难点是保证测量精度的前提下缩短响应时间。

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近二十年来，有些新的时频分析方法[40-44]被提出，这些方法本身的理论还在完善的过程中，它们在电力系统中的应用也处于探索的阶段。如由Morlet和Grossman于1980年代提出的小波变换；由美籍华人NE.Huang于1996年提出的希尔伯特-黄变换[40]；由Stockwell于1996年提出的基于连续小波变换的S变换[41]等，这些方法将在电力系统中逐渐应用起来[42-44]，具有一定的前景。

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还有一些谱分析算法，如Prony算法[45-46](Prony于1795年提出)、MUSIC算法(Schmidt和Bienvenu及Kopp于1979年独立提出[47])、ESPRIT算法(Roy等人于1986年提出[48])、Matrix Pencil算法(Hua和Sarkar于1990年提出[49-50])等，这些算法近年来逐渐受到重视，它们在电力系统中的应用也将越来越多。

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本章首先介绍的本文的研究背景，然后对目前国内外已有的相量测量算法和理论进行了简要地综述，本小节将对相量提取问题和已有的方法做进一步的分析。

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相量提取首先需要明确的是“相量”的定义。“相量”最初被提出时，是用来描述线性正弦稳态电路和时谐电磁场的。当应用于电力系统时，是一种描述各电气量在电力系统处于理想稳态时的表达形式。从“相量”的定义可以看出，“相量”概念的使用需要要求整个线性系统的激励（或电源）的频率是统一的。

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在实际的电力系统中，这个统一的频率被取为工频频率。但是，即使在电力系统稳态运行时，工频频率也不是处处相同、恒定不变的。电力系统稳态运行时，每台发电机的转子被其原动机带动并维持在恒定工频角速度的一个邻域内，这个角速度仅由其原动机的机械转矩与自身电磁转矩的动态平衡所决定。虽然发电机一般都装有带负反馈的调速系统来控制转速，但电力系统的负荷会不断变化，必将导致工频频率不停地波动。稳态时相量的精确测量就需要考虑这种频率偏移，通过修正算法自身或者修正采样率来达到补偿作用。

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电力系统故障时，特别是一些破坏了有功平衡的事故，发电机转速会偏离额定转速，常常会伴随着振荡。在这个动态过程中，系统中各处的工频频率将有较明显的差异，这期间整个系统的频率已不能简单地看作是统一的，此时的工频相量被理解为一个局部量更为合理。由于电力系统相量计算时待求相量所对应的频率取决于发电机的转速，将各发电机的动态转速所对应的时变频率用于该处的相量计算比较合适。但是实际中在计算各个电气量时，难以获取决定该电气量的发电机的转速。即使获取了全网中各个发电机转速的实时转速，也难以定义那些非发电机节点的频率。因此，一种实用的方法，也是目前正在使用的算法，就是直接地、完全地依赖局部电气量的时域信号，从中提取出额定工频的相量、额定工频邻域中能量最大的频率分量所对应的相量或者其它某种意义下的频率分量所对应的相量。

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本文所讨论的相量提取，并没有结合发电机转子的动态过程，而是采用实际中及绝大部分文献中的处理方法，即完全依赖于局部电气信号的时域波形，从信号本身出发来提取相量。

+ R2 a# z, o! P9 z9 @& L

笔者认为，相量提取就是对电气信号进行分解，或者说是将信号在不同空间的基底上进行投影（此处的投影是一种广义的投影，对傅氏算法来说是内积，对最小二乘法来说是最小二乘估计）。傅氏算法利用基频及其整次谐波作为基底，这些基底之间具有正交性，因此用傅氏算法对不含有衰减直流、衰减余弦、分数次谐波和噪声的信号进行相量提取的过程可以理解为：将信号在基频基底上进行投影。由于基频与各种整次谐波之间具有正交性，此时的相量提取算法从原理上来说是正确的。但是由于整次谐波与分数次谐波之间、大部分分数次谐波两两之间不具有正交性，把含有分数次谐波的信号投影至基频基底时，信号中的分数次谐波分量也会对投影结果产生影响，从而给相量提取带来了误差。最小二乘法则不同，它将基底的选择权交给了算法的使用者，因此算法的理论精度完全依赖于这些基底的选择。由于电力系统故障信号中的频率分量并不是已知且恒定不变的，因此无论选择并固定任何一组基底，都无法精确地测量大部分故障信号。而诸如Prony和矩阵束这类现代谱分析方法，选择了“衰减指数和”作为信号的基底，这些基底所对应的频点对算法来说也是事先未知的，需要通过这些算法自身的计算才能得到，因此可以认为这些方法选择了自适应的基底，对各种类型的信号均具有一定的适应性。值得一提的是矩阵束算法，该算法通过采样值序列构造两个采样阵，按照构造的特点这两个采样阵可以被共有的另外两个Vandermonde矩阵对角化为两个对角阵，而这两个对角阵分别包含了待测信号在对应两个时刻各个频率的幅值、相位、衰减因子。由于两个采样阵之间相差一个固定的延时，加上算法认定信号的幅值和初相位在这样一个延时下并没有发生改变，通过求解两采样阵“商”阵，即可将幅值和相位从表达式中约掉。于是“商”阵的特征根就包含了信号各个频率分量的频率和衰减因子这两个参数，结合延时即可将这两个参数解出来。此时，算法已经通过信号自身在一定时间内的旋转和衰减将其各个频率分量和衰减求出，即得到了分解信号所需的一组基底。接下来使用一次最小二乘法便可将每个频率分量的幅值和相位估计出来。矩阵束方法充分利用了信号自身的信息，并有着较明确的物理含义，因此也是一种比较有前景的方法。

8 E" j2 Z! U  o8 ~( C' D7 w

另外，当相量提取受到频率偏移的影响时，学者们都试图利用某种来自于相位信息的表达式来修正工频频率或采样率，从而得到更精确的频率或弥补频率偏移的影响。然而笔者认为，每一种相位测量方法，都蕴含着一种频率测量方法。当频率偏移额定值时，相隔一定时间间隔的相位测量值之差必定不等于按照频率额定值变化的量，此时将它们的差值叠加到频率额定值上，便可能得到更准确的频率。重复使用这样的步骤算法能否一定收敛到真实的频率处，这基本取决于相位测量算法本身对其它噪声的抵抗能力。即使某种相位测量方法完全不受其它噪声的影响，在频率偏移的情况下相位的测量结果不可避免地会带有一定的误差，这个误差的修正便是相位测量算法自身无法做到的。对于频率偏移时的相量测量，文献[24]的方法提供了一个相对可行的思路，即：定义一个函数，当频率偏移时，该函数仅在实际频率处取得极值。那么可以通过搜索的方法找到这个极值，确定实际频率之后再进行相量测量。由于该文中方法是基于傅里叶算法的，所以该方法理论上很难抑制分数次谐波的影响，故具有一定的局限性。

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综上所述，笔者认为相量提取技术所追求的目标应该为：

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不考虑频率偏移时，希望相量提取算法尽可能不受整次谐波、分数次谐波、衰减直流及衰减余弦分量的影响，计算所需要的数据窗尽量短，采样率尽量低，计算量尽量小，结果精度尽量高，抗噪性能尽量好；

2)
3 r, D9 r' v4 c, m5 d5 v/ J1 j# a若相量提取算法本身不能兼顾频率偏移，则希望算法的测量结果受到频率偏移的影响尽可能小；

3）若相量提取算法考虑了频率偏移，则希望在补偿频率偏移带来的影响时，算法的计算量尽量小，补偿方法尽量稳定，抗噪性能尽量好。

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