电力系统次同步振荡的理论探讨及仿真软件应用
电力系统次同步振荡的理论探讨及仿真软件应用作者：张晓光
摘要：电力系统次同步振荡的深入研究始于20世纪70年代，早期称为次同步谐振，随着直流输电技术的发展，从广义定义考虑，通称为次同步振荡。以发电机大轴被看作是若干弹性连接的集中质量块为物理模型，从分析状态矩阵A的特征值、特征向量入手，研究发电机轴系的扭振机理；以复数力矩系数法分析次同步振荡过程机理；介绍研究次同步振荡的仿真应用软件。
关键词：次同步振荡、复数力矩系数法
1 电力系统次同步振荡的理论探讨
1.1 电力系统次同步振荡研究历史的概况
电力系统次同步振荡问题的最早研究始于1937年，但此问题引起世界电力行业真正关注是1970年，1970年12月和1971年10月，美国莫哈维（Mohave）电站曾先后发生因次同步谐振而引起发电机组大轴损坏的重大事故，且两次情况基本相同。
该电站有两台790MW的燃煤机组，通过两回500kV输电线路，接入电网，其中莫哈维～乐哥莫乐线路，线路长293km，装设多段固定串联补偿，总串补度达70％；另一回输电线路长95km，无串联补偿装置。上世纪70年代，在世界电力行业，为提高500kV输电线路的暂态稳定水平，采用串联补偿的新技术，这是一种投资省、见效快的方法。但这一技术的最大缺点是，在高串补度的情况下，很可能产生电力系统的次同步谐振（Subsynchronous Resonance，SSR），进而造成汽轮发电机组的轴系损坏。次同步谐振产生的主要机理是，在特定电网接线和运行方式下，电网中串补的电容器容抗与所在线路的感抗基本抵消，而且出现负阻尼，从而激发次同步谐振，此谐振频率略低于同步频率。
次同步谐振在稳态和暂态方式下都有发生的情况，次同步谐振产生的原因和造成的影响可用三种类型加以描述：
其一是感应发电机效应，主要表现为，同步发电机经常接在高串补度的输电线路，如串补电容补偿度为 ，若 ，其中 为工频，其 ＜ ， 即为次同步频率。此频率也是系统 谐振频率，在发电机相电流、相电压中均有此分量，此谐振频率对发电机相当于一台异步电机，且处在发电状态，从而使谐振得以持续，因此通常把这一效应称为“感应发电机效应”。
另一是复合共振型，又称为“机电扭振相互作用型”，这时谐振回路的电气参数配合尚没有达到负阻尼，但电谐振频率和发电机轴系的自然扭振频率构成一定关系时，在某种系统扰动的条件下，可能发生由于发电机轴系和电网络间的相互作用而引起轴系扭振不稳定，造成发电机大轴的破坏或寿命的缩短，此过程即为“机电扭振互作用型”。
最后一种发生方式比较复杂，在电网突然发生大扰动下，产生激发大型火电机组（如600MW机组以上）的暂态扭振，同时串联电容会加剧这种扭振，从而放大了机组的暂态轴扭矩，这一过程称为暂态力矩放大作用，因此称为“暂态力矩放大作用型”。
对次同步谐振问题主要关注是，由扭转应力而造成轴系的损坏，这一结果可能是长时间的低幅值扭振所至，也可能是短时间高幅值扭振的轴系损坏。
由直流输电引起汽轮发电机组轴系扭振与由串联补偿引起的汽轮发电机组轴系扭振在机理上是不同的，因为前者不存在谐振回路，故不能称为次同步谐振，而被称为次同步振荡（Subsynchronous Oscillation，SSO），使其含义更具广泛性。由直流输电系统引起的次同步振荡问题，是1977年首先在美国Square Butte直流输电工程调试时被发现。以后在其它各国的直流输电工程中，都表明有或可能引起次同步振荡。
对次同步振荡产生的机理已有清晰认识，除交流线路加串联补偿和直流输电有可能引起次同步振荡外，在电力系统中可产生低于系统频率的电气装置，在适当的条件下，都有可能引起汽轮发电机组的次同步振荡，这些电气装置包括：电力系统稳定器（PSS）、静止无功补偿器（SVR）、发电机的静止交流励磁装置等，即可产生接近次同步振荡的谐波激发源。
1.2 发电机轴系的扭振机理
在低频振荡研究中，是将发电机大轴作为一个刚体进行研究分析的，其本质是各发电机大轴作为刚体，在同步旋转的同时，若发生扰动，则转子间会发生相互间的摇摆，这种摇摆频率很低，且引起较长时间的功率摇摆。
在次同步振荡中，发电机大轴被看作是若干弹性连接的集中质量块，次同步振荡的物理本质是受扰动轴系中各质块在同步旋转的同时，还会发生相对的扭转振荡。如系统对此扭振是负阻尼，则发电机轴系可能产生持续的，甚至是增强的扭振，以致引起轴系的过度性疲劳损坏。
以下图双质块轴系为例，分析扭振的基本原理，如下图双质块轴系图所示，质块转动惯性时间常数、转速、转子角分别为 、 、 、 及 、 ，为了分析问题的清晰，可设质块运动中无机械阻尼，质块连接处的弹性系数为 ，在无外力的作用下，两个质块各自自由运动方程为：
对上式线性化，并转化为矩阵形式的增量方程，如下式：
＋ ＝0
上式微分方程组的特征方程为：
＝0
设 ，则上式为：
可解出：
由此得出：
上式中， ； 或 。
上式表明，两个质块在扰动下，会作以角频率为 的相对扭振，在有阻尼时，将产生衰减扭振。上式中的根 是一对共轭复根，从物理上通常把 称为轴系的“扭振频率”，而把 称为共模（common mode），在一个n个质块的轴系有（n－1）个扭振模式及一个共模。
同理在n个质块的轴系中，为了分析轴系问题，通常把以上述两质块轴系模型，扩展为轴系多段集中质量的数学模型，在不考虑阻尼的情况下，可考虑以下列二阶常系数微分方程加以描述：
.......
上式中
为质量 的转动惯量。
为质量 相对参考轴的转角。
为质量 与 之间轴段（无质量）的扭振弹性系数。
为质量 外施扭力矩。
上式可整理为：
其中：
对上式两侧同乘 ，则得：
令 ， ，则上式可变为：
（1）
对（1）式可以找到矩阵 ，进行线性变换（解耦过程），使得：
式中：
可知， 为矩阵A的特征值，而 为矩阵A的特征向量 等构成的矩阵，特征值 与特征向量 一一对应。
令 （2）
对（2）式进行坐标变换可表示将 变成 。
其中：
将（2）式展开，得：
将（2）式代入（1）式，再左乘 ，可得：
或
当假设外力矩 时，即 ，可得：
（3）
从（3）式可得到 的解，将 代入（2）式，可得到 的解。
根据扭振模式的基本定义， ，就是轴系的扭振自然频率，相应的特征向量 分别为各阶扭振自然频率对应的振型。
在 的解中，有N个不同频率的振荡分量，反映不同频率的振荡情况，特征向量 表示 在 中振荡位移的大小。一般来说，在 中低阶频率分量的作用较大，而高阶频率分量起的作用很小，可以忽略不计。
1.3 复数力矩系数法的分析
从控制系统理论角度分析，次同步振荡问题是涉及到电网络和机械轴系两个系统结构、特征差别较大的研究范畴，复数力矩系数法是分析次同步振荡问题的基本方法之一，基本思路以单机对无穷大系统的方式来研究。
复数力矩系数法对于一台待研究的发电机组，复数力矩系数法成立的基本前提是在小扰动下，发电机组电磁转矩的增量可以用下式表示：
(1)
上式中， 为电磁转矩增量； 为同步转矩； 为阻尼转矩。 和 分别是被称为同步转矩系数和阻尼转矩系数； 和 分别为相对于同步旋转座标系的功率角增量和角速度增量。
同时， 和 之间有如下关系：
（2）
式中， 为同步转速。在假定发电机转子作频率为 的小值振荡，由此可推出与复数力矩系数法所对应的同步转矩系数和阻尼转矩系数表达式，即：
（3）
而 （4）
根据（3）和（4）式：
（5）
（5）式即为复数力矩系数法在分析次同步振荡的基本关系式。
由于电气同步转矩系数 与机组轴系的机械弹性系数相比要小一个数量级以上，因此可以认为机组接入系统以后并不改变轴系的自然扭振频率。
在考虑机械阻尼情况下，在外力作用下，即为：
上式中 为解耦后的电磁力矩。
若考虑发电机转子角 有一个以复频 振荡的激励（扰动），由自激法可得：
上式中 为复数量，反映了以 为频率、 为衰减因子的复频振荡下， 初值的幅值及相位。因此由 引起的 为：
上式中 ， 、 为与 有关的实数，分别称为电气同步力矩系数和电气阻尼力矩系数，并称 为复数力矩系数。
当 和第 个扭振模式十分接近，从而微小的 可能激发很大的 ，因此，只有当扰动频率 接近轴系某一模式的自然扭振频率时，才有可能激发扭振，从物理基本规律看也是合理的。从而可得出：
＜ 0 是系统扭振不稳定的条件。
上式中， 为相应扭振频率下系统的电气阻尼系数， 为相应扭振频率下系统的机械阻尼系数。由于 ＞0，因此发电机轴系扭振时，相应模式下的电气阻尼系数 ＜0，这是扭振的必要条件。
2. 直流输电的次同步振荡与仿真计算
如前所述，在1977年美国Square Butte投入直流输电线路时，出现了发电机大轴的次同步扭振现象。这种现象的产生是由于直流输电中处在某种运行方式下，与快速控制系统参数配置不合理所引起的，其过程机理和机电扭振相互作用相似。
由以上对轴系扭振的理论探讨，可以看出直流输电SSO的研究计算是十分复杂的过程。其仿真计算将涉及以下三大子系统部分：
1） 电厂子系统部分主要包括如下环节：
（1） 被研究发电机的主机部分，涉及发电机机端的电压、电流和发电机的视在功率；发电机内部详细模型的参数。
（2） 被研究发电机的励磁系统，一般按静止励磁系统考虑。
（3） 被研究发电机的调速系统，一般按数字化电液控制系统模型考虑。
（4） 被研究发电机的轴系系统，一般按6阶轴块系统考虑。
2） 交流输电子系统的输电线路部分和等效负荷部分，此子系统中的线路模式按与频率相关模式考虑；负荷部分根据具体情况考虑。
3） 直流输电子系统主要包括如下环节：
（1） 直流输电整流侧一次换流（整流环节）部分。
（2） 直流输电逆变侧一次换流（逆变环节）部分。
（3） 直流输电控制系统部分。
对上述三大子系统的仿真计算，采用现国际通用的主流仿真软件－PSCAD/EMTDC仿真程序。
参考文献：
1） 《交直流电力系统动态行为分析》，徐政著。
2） 《电力系统电磁暂态计算理论》，（加拿大）H.W.Dommel 著，李永庄、林集明、曾昭华译。
作者简介：
张晓光（1955－），男，东北电力设计院，从事电力系统规划设计。
电子邮件：zhangxiaoguang@nepdi.net
电话：0431－85798145 不错，里边复转矩系数法好像没有去机械阻尼！ 这是一篇期刊文章么？
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